Transformator

Der Transformator ist eines der wichtigsten Schaltungselemente in der Wechselstromtechnik.
Er besteht aus zwei oder mehreren galvanisch getrennten (Ausnahme: Spartransformator)
Wicklungen, die über das strombegleitende gemeinsame und in einem ferromagnetischen
Kern geführte Magnetfeld miteinander gekoppelt sind. Damit können durch gegenseitige
Induktion Spannungen und Ströme erzeugt werden.
Er findet Anwendung in der
elektrischen Energietechnik als Umspanner zur Verbindung von Netzen mit unterschiedlichen
Spannungsebenen oder als Trenn- bzw. Isoliertransformator zur galvanischen Trennung von
Netzteilen, wobei er in beiden Fällen gleichzeitig als Leistungstransformator der Energieübertragung
dient;
Nachrichtentechnik als Übertrager zur breitbandigen Anpassung im Tonfrequenzbereich bzw. als
Koppelelement im Hochfrequenzbereich;
Messtechnik als Wandler zur Verringerung von Messspannungen bzw. -strömen.

Transformatorprinzip
 

uN - Spannung des speisenden Netzes (hier Annahme: ideale Quelle)
Za - komplexer Belastungswiderstand (Grenzbelastungsfälle:    Leerlauf:      ZaÞ¥
                                                                                                            Kurzschluss:  Za = 0)
u1, i1, N1, Fs1 - Klemmenspannung, Strom, Windungszahl, Streufluss der Primärwicklung
Fh - magnetischer Haupt- oder Koppelfluss
u2, i2, N2, Fs2 - Klemmenspannung, Strom, Windungszahl, Streufluss der Sekundärwicklung
ia - Belastungsstrom (Leerlauf: ia = 0 Þ i1 = i0, u2 = u20; Kurzschluss: u2 = 0 Þ ia = ik)
µFe, kFe - magnetische Permeabilität, elektrische Leitfähigkeit des ferromagnetischen Kernes

Elektrisches Schaltbild eines Transformators
 

R1, R2 - ohmsche Wicklungswiderstände der Primär- und der Sekundärspule
L1, L2 - (Selbst-) Induktivitäten der Primär- und der Sekundärspule
L12 = L21 - gegenseitige Induktivität von Primär- und Sekundärwicklung
 

Transformatorgleichungen:
Masche Primärseite:      (1)
Masche Sekundärseite:       (2)
Für sinusförmige Spannungen und Ströme können diese mit komplexen Symbolen beschrieben werden:
 U1 = R1 ×I1 + jw L1×I1 + jw L12×I2     (3)
 U2 = R2×I2 + jw L2×I2 + jw L21 ×I1     (4)

idealer Transformator
Zielstellungen:
 
 
 

 

  · An einem Transformator soll das Verhältnis der Eingangsspannung
     U1 zur Ausgangsspannung U2 konstant und von den jeweiligen
     Betriebsbedingungen unabhängig sein.
  · Der Transformator soll eine Energieübertragung ermöglichen ohne
     selbst Energie zu verbrauchen oder zu speichern.
Ein solcher idealer Transfomator ist praktisch nicht realisierbar, die Zielstellungen wären nur
erreichbar, wenn
  · die Wicklungswiderstände R1 = R2 = 0 wären,
  · beide Wicklungen vollständig vom gesamten erzeugten
     magnetischen Fluss durchsetzt wären (d.h. es treten keine
     Streuflüsse Fs1 und Fs2 auf, was eine Permeabilität µFe Þ¥ und
     damit einen Koppelfaktor k = 1 voraussetzen würde),
  · im ferromagnetischen Kern keine Wirbelstromverluste
     (Voraussetzung: kFe = 0) und keine Ummagnetisierungsverluste
     auftreten würden.

Bei Annahme der Erfüllbarkeit dieser Bedingungen sowie des Betriebszustandes "Leerlauf"
(I2 = 0, U2 = U20) ergibt sich aus (3) und (4) mit  und L = N2 ×L
(L - magnetischer Leitwert des Kernes) das Spannungsübersetzungsverhältnis eines
 
Transformators          (5)
als Verhältnis der Windungszahlen.
Aus der Annahme der Gleichheit der primär- und der sekundärseitigen komplexen Leistung
U1 ×I1* = - U2 ×I2* = - ×I2* findet man für das Stromübersetzungsverhältnis
.         (6)
Das gleiche Ergebnis erhält man mit (4) für den Betriebsfall "Kurzschluss" (U2 = 0):
U2 = 0 = jw L2 × I2 + jw L21×I1         (4a)
.         (6a)
D.h.: auch bei einem "idealen" Transformator gilt das Spannungsübersetzungsverhältnis
exakt nur im Leerlauf und das Stromübersetzungsverhältnis exakt nur bei Kurzschluss.
Unabhängig davon wird ü = N1 / N2 für praktische Anwendungsfälle in der Regel auch für
andere Belastungszustände benutzt, z.B. zur Transformation passiver Zweipole:

Beispiel:               Eingangs-Ersatzwiderstand Z1e eines mit Za belasteten Transformators:

,         (7)
                              d.h. Za wird mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses auf die
                              Primärseite transformiert.
In analoger Verfahrensweise erfolgt die Transformation anderer passiver sowie auch aktiver
Zweipole.

realer Transformator

· die Wirkwiderstände der Wicklungen sind ungleich 0 Þ Stromwärmeverluste
· die Permeabilität des ferromagnetischen Kernes ist endlich und die magnetische
   Leitfähigkeit außerhalb des Kernes ist ungleich 0 Þ Streuflüsse Fs , k < 1 (Streufaktor
   s = 1 - k2 > 0)
· die elektrische Leitfähigkeit des Kernes ist ungleich 0 (Þ Wirbelstromverluste) und es
   treten Hystereseverluste auf
   Folgen:             ein Teil der dem Transformator zugeführten elektrischen Leistung wird in
                             Wärmeenergie umgesetzt,
                             magnetische Kopplung ist nicht ideal fest.

Ersatzschaltbild des Transformators

Das Verhalten eines Transformators soll in allen Betriebsfällen durch eine Ersatzschaltung
beschrieben werden, die die Transformatorgleichungen (1) und (2) bzw. (3) und (4) erfüllt.
Von den möglichen Vierpolgrundschaltungen wird hier die T-Schaltung als einfachste
benutzt.
Es erweist sich dabei als zweckmäßig, alle Elemente und Größen der Sekundärseite auf die
Primärseite zu beziehen. Man setzt zunächst U2’ = Uü und I2’ = I2 / ü und erhält aus (3) und
(4)
      U1 = R1×I1 + jw L1×I1 + jw üL12×I2+ jw üL12×I1 - jw üL12×I1       (8)
      U2’ = ü2R2×I2’ + jw ü2L2×I2’ + jw üL12×I1+ jw üL12×I2’ - jw üL12×I2’,       (9)
wobei berücksichtigt wurde, dass L12 = L21 ist, und die kursiv gedruckten Therme formal
hinzugefügt wurden. 
Durch Zusammenfassen und Umstellen erhält man
      U1 = R1×I1 + jw (L1 - üL12) I1 + jw üL12 (I1 + I2’)       (10)
      U2’ = ü2R2×I2’ + jw2L2 - üL12) I2’ + jw üL12 (I1 + I2’) .       (11)
Mit den Vereinfachungen R2’ = ü2 R2,  Ls1 = L1 - üL12 = (1 - k) × L1 (primäre Streuinduktivität),
Ls2’ = ü2 L2 - üL12 = (1 - k) × L2’ (bezogene sekundäre Streuinduktivität) und L12’ = Lh = üL12
(Haupt-, Koppelinduktivität) erhält man
      U1 = (R1 + jw Ls1)×I1 + jw Lh (I1 + I2’)       (12)
      U2’ = (R2’ + jw Ls2’)×I2’ + jw Lh (I1 + I2’).       (13)
Wird der Transformator bei einer konstanten Frequenz betrieben, was bei
starkstromtechnischen Anwendungen der Fall ist, können mit w Ls = Xs Streureaktanzen
und mit w Lh = Xh die Hauptreaktanz in (12) und (13) eingeführt werden:
      U1 = (R1 + jXs1)×I1 + jXh (I1 + I2’)       (14)
      U2’ = (R2‘ + jXs2’)×I2’ + jXh (I1 + I2’).       (15)
Um auch die im ferromagnetischen Kern auftretenden Eisenverluste zu berücksichtigen,
wird im Ersatzschaltbild ein der Hauptreaktanz parallelgeschalteter fiktiver Widerstand RFe
eingefügt, der sich aus den Eisenverlusten selbst ableiten lässt:
      RFe = Uq2 / PFe.       (16)
Fasst man die Parallelschaltung der Hauptreaktanz Xh mit dem Eisenverlustwiderstand RFe als komplexen Leitwert zusammen: Yh = 1 / RFe - j / Xh, ergeben sich die Transfomatorgleichungen zu: 
      U1 = (R1 + jXs 1) × I1 + (I1 + I2’) / Yh       (17)
      U2’ = (R2‘ + jXs 2’) × I2’ + (I1 + I2’) / Yh       (18)
wobei 1 / Yh = Zh auch durch einen äquivalenten komplexen Widerstand ersetzt werden kann.


Die Ersatzschaltung hat die gleichen elektrischen Eigenschaften wie der Transformator
selbst und kann zur Beurteilung seines gesamten stationären Betriebsverhaltens
herangezogen werden. Zur Veranschaulichung dieses Betriebsverhaltens dienen in der
Wechselstromtechnik übliche Zeigerdiagramme, für deren Darstellung die Elemente des
Ersatzschaltbildes bekannt sein bzw. bestimmt werden müssen.
 

Messungen im Leerlauf

                                                              vereinfachtes Ersatzschaltbild "Leerlauf"

Aus den Messungen
(kursiv: Zahlenwerte Beispiel)
      U1 = U1nenn          = 60 V
      I1» I0                     = 0,085 A
      P1 = P10              = 2 W
      U2 = U20              = 60 V
findet man bei Vernachlässigung des
Wicklungswiderstandes R1 und der
primären Streureaktanz Xs1
[(R1 + jXs1) << RFe || jXh Þ das
vereinfachte Ersatzschaltbild besteht
praktisch nur aus dem Querzweig, damit
wird auch Uq » U1]:
den Eisenverlustwiderstand
      RFe = U1nenn2 / P10  = 1800 W ,
die Leerlauf-Scheinleistung
      S10 = U1nenn×I0           = 5,1 VA,
den Leerlauf-Leistungsfaktor
       cos j0 = P10 / S10       = 0,3922,
den Eisenverluststrom
       IFe = I0 × cos j0           = 0,0333 A,
den Magnetisierungsstrom
       Iµ = I0× sin j0                = 0,0782 A,
die Haupt-, Koppelreaktanz
       Xh = U1nenn / Iµ        = 767,3 W ,
die Haupt-, Koppelinduktivität
       Lh = Xh / w                    = 2,44 H
                                             (f = 50 Hz),
das Übersetzungsverhältnis
       ü = U1nenn / U20       = 1 .

Das dargestellte Zeigerdiagramm beschreibt die elektrischen Größen des Transformators
im Leerlauf auf der Grundlage seines vereinfachten Ersatzschaltbildes.
 

Messungen im Kurzschluss

                                                     vereinfachtes Ersatzschaltbild "Kurzschluss"

Der sekundärseitig kurzgeschlossene Transformator führt den Strom I1 » -I2 = -I2nenn.
Die dafür notwendige Primärspannung U1 = Uk ist die Kurzschlussspannung (bezogen auf
die Bemessungsspannung ergibt sie die zur Beurteilung des Belastungs- und Kurzschluss-
verhaltens wichtige relative Kurzschlussspannung uk).
Sie ist (abhängig von der Transformatorleistung) wesentlich kleiner als die Bemessungs-
spannung U1nenn.
Entsprechend vermindert sich der Strom im hochohmigen Querzweig, so dass dieser
vernachlässigt werden kann. Die aufgenommene Wirkleistung P1k entspricht somit
näherungsweise den Wicklungsverlusten. Weitere Vereinfachung: die Widerstände R1 + R2
und die Streureaktanzen Xs1 + Xs2’ werden zusammengefasst, ihre Einzelwerte ergeben
sich bei Voraussetzung eines etwa gleichen Wickelvolumens und einer weitgehend
symmetrischen Wicklungsananordnung von Primär- und Sekundärwicklung zu R1 » R2
und Xs1» Xs2’.
Aus den Messungen
(kursiv: Zahlenwerte Beispiel)
      U1 = Uk                            = 19 V
      -I1» I2‘ = I2nenn‘ = I2 / ü = 0,5 A
      P1 = P1k                        = 2 W
findet man:
die Kurzschluss-Scheinleistung
      S1k = Uk × I1                = 9,5 VA,
den Kurzschluss-Leistungsfaktor
      cos jk = P1k / S1k       = 0,2105,
den ohmschen Spannungsabfall
      UR = Uk × cos jk         = 4 V,
den induktiven Spannungsabfall
      UX = Uk × sin jk           = 18,6 V,
die Wicklungswiderstände
      R = UR / I1                   = 8 W ,
      R1 = R2’ = R / 2         = 4 W ,
die Streureaktanzen
      Xs = UX / I1                = 37,2 W,
      Xs1 = Xs2’ = Xs / 2   = 18,6 W ,
die Streuinduktivitäten
      Ls = Xs / w                    = 0,118 H,
      Ls1 = Ls2‘ = Ls / 2      = 0,059 H .
Die Spannungen Uk = UR + UX im
Zeigerdiagramm der elektrischen Größen
bilden das "Kappsche" Dreieck.

Vollständiges Zeigerbild

Die Darstellung erfolgt für einen beliebigen Belastungsfall auf der Grundlage des
vollständigen Ersatzschaltbildes unter Einbeziehung der Ergebnisse aus den Messungen im
Leerlauf- und im Kurzschlussversuch. Der Beginn dieser Darstellung hängt davon ab,
welche den Belastungsfall kennzeichnenden Messwerte vorliegen: U1, I1, P1 der Primärseite
oder/und U2, I2, P2 der Sekundärseite.
Die Konstruktion des Zeigerbildes erfolgt anhand des bereits für die Messungen im Leerlauf
und im Kurzschluss benutzten Beispiels, für das die Messwerte der Belastung U2 = 51 V,
I2 = 0,5 A und cos j2 = 0,9 (Þ U2’ = U2 × ü = 51 V, I2’ = I2 / ü = 0,5 A, j2 = 25,8°) vorliegen.

1. Zeigerbild der Belastungsgrößen               2. Ergänzung der Spannungsabfälle der
                                                                                            Sekundärwicklung:
                                                                                UR2’ = R2×I2’          UR2’= 2 V
                                                                                UX2’ = jXs2×I2’       UX2’= 9,3 V
 
 


3. Bestimmung der Spannung des Quer-           4. Ergänzung der Ströme des
    zweiges Uq (kann nur dem maßstäblichen         Querzweiges:
    Zeigerbild entnommen werden, ist nicht              Ife = Uq / Rfe               Ife = 0,0319 A
    messbar):                       Uq = 57,3 V                    Iµ = Uq / jXh                 Iµ = 0,0747 A
                                                                                       I0               I0= 0,0812 A
 
 


5. Bestimmung des Primärstromes I1           6. Ergänzung der Spannungsabfälle der
    aus dem maßstäblichen Zeigerbild:                Primärwicklung:
                                                       I1 = 0,569 A        UR1 = R1 ×I1             UR1 = 2,3 V
                                                                                   UX1 = jXs1×I1           UX1 = 10,6 V
 
 

7. Bestimmung der Primärspannung U1
    und des primären Phasenwinkels j1 bzw.
    Leistungsfaktors cos j1:
                                                    U1 = 66 V
                                                    j1 = 43,9°
                                                    cos j1 = 0,72

Anmerkungen:

· Dem dargestellten Zeigerbild liegt das
Ersatzschaltbild mit dem Verbraucher-
Zählpfeilsystem auf der Primär- und auf der
Sekundärseite zugrunde. Wird auf der
Sekundärseite das Erzeuger-Zählpfeilsystem
benutzt (in der Literatur nicht selten anzutreffen),
sind (abgesehen von dort auch abweichenden
Bezeichnungen) die Wirkungsrichtungen der
Zeiger I2’, UR2’ und UX2’ umzukehren und in den
Gleichungen (1) bis (4) und (6) bis (15) -i2, -I2
bzw. -I2’ einzusetzen.

· Bei Betrieb eines Transformators im Bereich der
Bemessungsspannung und des Bemessungsstromes 
kann zur Darstellung eines vereinfachten Zeigerdiagramms
das vereinfachte Ersatzschaltbild des Kurzschluss-
Versuchs benutzt werden:
- die Schritte 3., 4. und 5. entfallen, d.h. der
Querzweig bleibt unberücksichtigt und I1 = -I2’,
- die Schritte 2. und 6. werden zusammengefasst.
Der durch diese Vereinfachung verursachte Fehler
ist um so geringer, je kleiner I0 gegenüber I1nenn ist.

· Bei Vorliegen der Belastungs-Messwerte der
Primärseite erfolgt die Erarbeitung des
Zeigerbildes beginnend mit der Darstellung von
U1, I1, j1.

· Die Darstellungen gehen davon aus, dass nur
lineare passive Zweipole wirksam sind.

Auf rechnerischem Wege findet man aus (18) nach Umstellung nach I1:

I1 = (U2’ - (R2’ + jXs2‘) I2’ - I2’ / Yh) Yh

I1 = (51 V - (4 W + j18,6 W + 705,8 W ej66,9°) 0,5 A ej154,2°) 1,417 10-3 S e-j66,9°
I1 = 0,569 A e-j30,36°

und damit aus (17):

U1 = (R1 + jXs1) I1 + (I1 + I2’) / Yh

U1 = (4 W + j18,6 W) 0,569 A e-j30,36° + (0,569 A e-j30,36° + 0,5 A ej154,2°) / 1,417 10-3 S e-j66,9°
U1 = 66,01 V ej13,57°

j1 = ju1 - ji1 = 13,57° - (-30,36°) = 43,93°

Ein gleiches rechnerisches Ergebnis erhält man mit den Verfahren der Netzwerkanalyse.
So lautet z.B. das Gleichungssystem des Maschenstromverfahrens:

                                           (19)
 

Lastverhalten am "starren" Netz

Ein Netztransformator zur Energieversorgung wird im Allgemeinen an der Spannung U1 = konst.
betrieben, die weitgehend lastunabhängig ist. Außerdem kann angenommen werden, daß der
Querzweig des Ersatzschaltbildes wegen seiner Hochohmigkeit vernachlässigbar ist: I0 << I1 ,
und damit I1 = - I2’ .
Führt man diese Überlegungen in die Gleichungen (17) und (18) ein und fasst beide mit R1+R2’=R
und Xs1+X s2‘=Xs zusammen, erhält man
 
 
      U2’ = U1 - (R + jXs ) I1 (20)

U2’ (und damit U2) ist abhängig vom komplexen Strom I1 = - I2’ = Ia’, also von dessen Betrag
und Phasenlage. Das Zeigerbild ("Kappsches" Diagramm) veranschaulicht dies mit einer
ohmschen (j2o = 0), einer induktiven (j2i = - 45°) und einer kapazitiven (j2k = 45°) Last bei
Bemessungsstrom |I1nenn|.

Gegenüber dem Leerlauf ändert sich die Spannung U2’ um
DU = U20’ - U2’ = U1 - U2
      = UR cos j2 + UX sin j2 + j (UX cos j2 - UR sin j2) = D Uj ‘ + j D Uj ‘’ 
(21)
mit dem Betrag  D U = U1 - U2’ = D Uj ‘ + 0,5 D Uj ‘’2 / U1
und der Näherungslösung  D U »D Uj ‘ .  (22)

Als relative Spannungsänderung wird uj = (D Uj ‘ + j D Uj ‘’) / U1nenn»D Uj ‘ / U1nenn benutzt.

Aus dem maßstäblichen Zeigerbild bzw. rechnerisch findet man für das bereits mehrfach benutzte
Beispiel für die drei Belastungsfälle:
U2ohm‘ = 53 V ,  j1o = 18,1° ,  DUohm = (4 + j 18,6) V » 4 V,
U2ind‘ = 43,1 V ,  j1i = 54,9° ,  DUind = (16 + j 10,3) V » 16 V,
U2kap‘ = 68,2 V ,  j1k = -29,5° ,  DUkap = (-10,3 + j 16) V » -10,3 V.

Die Sekundärspannung eines Transformators kann im Fall kapazitiver Belastung größer als die
Primärspannung sein!

(Quelle: HTW Dresden)

Bearbeitung: JOT 05.02.01

Broschüre:

Bedarfsgerechte Auswahl von Kleintransformatoren