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Transformator
Der Transformator ist eines der wichtigsten Schaltungselemente
in der Wechselstromtechnik.
Er besteht aus zwei oder mehreren galvanisch getrennten
(Ausnahme: Spartransformator)
Wicklungen, die über das strombegleitende gemeinsame
und in einem ferromagnetischen
Kern geführte Magnetfeld miteinander gekoppelt sind. Damit können durch
gegenseitige
Induktion Spannungen und Ströme erzeugt werden.
Er findet Anwendung in der
elektrischen Energietechnik als Umspanner zur
Verbindung von Netzen mit unterschiedlichen
Spannungsebenen oder als Trenn- bzw. Isoliertransformator zur galvanischen
Trennung von
Netzteilen, wobei er in beiden Fällen gleichzeitig als
Leistungstransformator der Energieübertragung
dient;
Nachrichtentechnik als Übertrager zur breitbandigen Anpassung
im Tonfrequenzbereich bzw. als
Koppelelement im Hochfrequenzbereich;
Messtechnik als Wandler zur Verringerung von Messspannungen
bzw. -strömen.
Transformatorprinzip

uN - Spannung des speisenden Netzes
(hier Annahme: ideale Quelle) Za - komplexer Belastungswiderstand
(Grenzbelastungsfälle: Leerlauf:
ZaÞ¥
Kurzschluss: Za = 0) u1, i1, N1, Fs1
- Klemmenspannung, Strom, Windungszahl, Streufluss der Primärwicklung
Fh - magnetischer Haupt- oder Koppelfluss
u2, i2, N2,
Fs2 - Klemmenspannung,
Strom, Windungszahl, Streufluss der Sekundärwicklung
ia - Belastungsstrom (Leerlauf:
ia = 0 Þ i1 = i0, u2
= u20; Kurzschluss: u2 = 0 Þ ia = ik)
µFe, kFe - magnetische Permeabilität,
elektrische Leitfähigkeit des ferromagnetischen Kernes Elektrisches
Schaltbild eines Transformators

R1, R2 - ohmsche Wicklungswiderstände
der Primär- und der Sekundärspule L1,
L2 - (Selbst-) Induktivitäten der Primär- und der Sekundärspule
L12 = L21 - gegenseitige
Induktivität von Primär- und Sekundärwicklung
Transformatorgleichungen:
Masche Primärseite: |
 |
(1) |
Masche Sekundärseite: |
 |
(2) |
Für sinusförmige Spannungen
und Ströme können diese mit komplexen Symbolen beschrieben werden: |
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U1 = R1
×I1 + jw L1×I1 + jw L12×I2 |
(3) |
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U2 = R2×I2 + jw L2×I2 + jw L21 ×I1 |
(4) |
idealer Transformator
Zielstellungen:
|
· An einem Transformator
soll das Verhältnis der Eingangsspannung U1 zur Ausgangsspannung
U2 konstant und von den jeweiligen
Betriebsbedingungen unabhängig sein.
·
Der Transformator soll eine Energieübertragung ermöglichen ohne
selbst Energie zu verbrauchen
oder zu speichern. |
Ein solcher idealer Transfomator
ist praktisch nicht realisierbar, die Zielstellungen wären nur
erreichbar, wenn |
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· die Wicklungswiderstände
R1 = R2 = 0 wären,
· beide Wicklungen vollständig vom gesamten
erzeugten magnetischen Fluss durchsetzt wären (d.h.
es treten keine Streuflüsse Fs1 und Fs2 auf, was eine Permeabilität
µFe Þ¥ und damit einen Koppelfaktor k = 1 voraussetzen
würde), · im ferromagnetischen Kern keine Wirbelstromverluste
(Voraussetzung: kFe = 0) und keine Ummagnetisierungsverluste
auftreten würden. |
Bei Annahme der Erfüllbarkeit dieser Bedingungen
sowie des Betriebszustandes "Leerlauf"
(I2 = 0, U2 = U20) ergibt
sich aus (3) und (4) mit und L = N2
×L
(L - magnetischer
Leitwert des Kernes) das Spannungsübersetzungsverhältnis eines
realer Transformator
· die Wirkwiderstände
der Wicklungen sind ungleich 0 Þ Stromwärmeverluste
· die Permeabilität des ferromagnetischen
Kernes ist endlich und die magnetische
Leitfähigkeit außerhalb des Kernes ist ungleich 0 Þ
Streuflüsse Fs , k < 1 (Streufaktor
s
= 1 - k2 > 0)
· die elektrische Leitfähigkeit des Kernes
ist ungleich 0 (Þ Wirbelstromverluste)
und es
treten Hystereseverluste auf
Folgen:
ein Teil der dem Transformator zugeführten elektrischen Leistung wird
in
Wärmeenergie umgesetzt,
magnetische Kopplung ist nicht ideal fest.
Ersatzschaltbild des Transformators
Das Verhalten eines Transformators soll
in allen Betriebsfällen durch eine Ersatzschaltung
beschrieben werden, die die Transformatorgleichungen
(1) und (2) bzw. (3) und (4) erfüllt.
Von den möglichen Vierpolgrundschaltungen wird hier die T-Schaltung als
einfachste
benutzt.
Es erweist sich dabei als zweckmäßig, alle
Elemente und Größen der Sekundärseite auf die
Primärseite zu beziehen. Man setzt zunächst
U2’ = U2 ü und I2’
= I2 / ü und erhält aus (3) und
(4)
U1 = R1×I1
+ jw L1×I1 + jw üL12×I2’ + jw üL12×I1 - jw üL12×I1 |
(8) |
U2’ = ü2R2×I2’
+ jw ü2L2×I2’ + jw üL12×I1+ jw üL12×I2’ - jw üL12×I2’, |
(9) |
wobei berücksichtigt
wurde, dass L12 = L21 ist, und die kursiv
gedruckten Therme formal hinzugefügt
wurden. Durch
Zusammenfassen und Umstellen erhält man |
U1 = R1×I1
+ jw (L1
- üL12) I1 + jw üL12 (I1 +
I2’) |
(10) |
U2’ = ü2R2×I2’
+ jw (ü2L2
- üL12) I2’ + jw
üL12 (I1 + I2’)
. |
(11) |
Mit den Vereinfachungen
R2’ = ü2 R2, Ls1 = L1 - üL12
= (1 - k) × L1 (primäre Streuinduktivität),
Ls2’ = ü2 L2 - üL12
= (1 - k) × L2’
(bezogene sekundäre Streuinduktivität) und L12’
= Lh = üL12 (Haupt-, Koppelinduktivität) erhält man |
U1 = (R1 + jw Ls1)×I1
+ jw Lh
(I1 + I2’) |
(12) |
U2’ = (R2’ + jw Ls2’)×I2’ + jw Lh (I1
+ I2’). |
(13) |
Wird der Transformator
bei einer konstanten Frequenz betrieben, was bei
starkstromtechnischen Anwendungen der Fall ist,
können mit w Ls
= Xs Streureaktanzen
und mit w Lh = Xh die
Hauptreaktanz in (12) und (13) eingeführt werden: |
U1 = (R1 + jXs1)×I1
+ jXh (I1 + I2’) |
(14) |
U2’ = (R2‘ + jXs2’)×I2’ + jXh
(I1 + I2’). |
(15) |
Um auch die im ferromagnetischen
Kern auftretenden Eisenverluste zu berücksichtigen,
wird im Ersatzschaltbild ein
der Hauptreaktanz parallelgeschalteter fiktiver Widerstand RFe
eingefügt, der sich aus den Eisenverlusten selbst ableiten lässt: |
RFe = Uq2 / PFe. |
(16) |
Fasst man die Parallelschaltung
der Hauptreaktanz Xh mit dem Eisenverlustwiderstand RFe
als komplexen Leitwert zusammen: Yh
= 1 / RFe - j
/ Xh, ergeben sich die Transfomatorgleichungen zu: |
U1 = (R1 + jXs
1) × I1 + (I1 + I2’)
/ Yh |
(17) |
U2’ = (R2‘
+ jXs 2’) × I2’
+ (I1 + I2’)
/ Yh , |
(18) |
wobei 1 / Yh = Zh auch
durch einen äquivalenten komplexen Widerstand ersetzt werden kann. |
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Die Ersatzschaltung hat die gleichen elektrischen Eigenschaften
wie der Transformator
selbst und kann zur Beurteilung seines gesamten stationären Betriebsverhaltens
herangezogen werden. Zur Veranschaulichung
dieses Betriebsverhaltens dienen in der
Wechselstromtechnik übliche Zeigerdiagramme,
für deren Darstellung die Elemente des
Ersatzschaltbildes bekannt sein bzw. bestimmt werden
müssen.
Messungen im Leerlauf
vereinfachtes Ersatzschaltbild "Leerlauf"
Aus den Messungen
(kursiv: Zahlenwerte Beispiel)
U1 = U1nenn
= 60 V I1» I0
= 0,085 A P1 = P10
= 2 W U2 = U20
= 60 V findet
man bei Vernachlässigung des Wicklungswiderstandes R1 und der primären
Streureaktanz Xs1 [(R1 + jXs1) << RFe
|| jXh Þ
das vereinfachte
Ersatzschaltbild besteht praktisch nur aus dem Querzweig, damit wird auch Uq » U1]:
den Eisenverlustwiderstand
RFe = U1nenn2
/ P10 = 1800 W
, die
Leerlauf-Scheinleistung S10 = U1nenn×I0
= 5,1 VA, den Leerlauf-Leistungsfaktor cos j0 = P10 / S10
= 0,3922, den
Eisenverluststrom IFe = I0
× cos j0
= 0,0333 A, den Magnetisierungsstrom Iµ = I0×
sin j0
= 0,0782 A, die Haupt-, Koppelreaktanz Xh
= U1nenn / Iµ
= 767,3 W
, die
Haupt-, Koppelinduktivität Lh = Xh
/ w
= 2,44 H
(f = 50 Hz), das
Übersetzungsverhältnis ü = U1nenn / U20
= 1 . |
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Das dargestellte Zeigerdiagramm beschreibt
die elektrischen Größen des Transformators
im Leerlauf auf der Grundlage seines vereinfachten Ersatzschaltbildes.
Messungen im Kurzschluss
vereinfachtes Ersatzschaltbild "Kurzschluss"
Der sekundärseitig kurzgeschlossene Transformator
führt den Strom I1 » -I2 = -I2nenn.
Die dafür notwendige Primärspannung U1
= Uk ist die Kurzschlussspannung (bezogen auf
die Bemessungsspannung ergibt sie die zur Beurteilung des Belastungs-
und Kurzschluss-
verhaltens wichtige relative Kurzschlussspannung
uk).
Sie ist (abhängig von der Transformatorleistung)
wesentlich kleiner als die Bemessungs-
spannung U1nenn.
Entsprechend vermindert sich der Strom
im hochohmigen Querzweig, so dass dieser
vernachlässigt werden kann. Die aufgenommene
Wirkleistung P1k entspricht somit
näherungsweise den Wicklungsverlusten. Weitere Vereinfachung:
die Widerstände R1 + R2’
und die Streureaktanzen Xs1 + Xs2’ werden zusammengefasst,
ihre Einzelwerte ergeben
sich bei Voraussetzung eines etwa gleichen
Wickelvolumens und einer weitgehend
symmetrischen Wicklungsananordnung von
Primär- und Sekundärwicklung zu R1 »
R2’
und Xs1» Xs2’.
Aus den Messungen
(kursiv: Zahlenwerte Beispiel)
U1 = Uk
= 19 V -I1» I2‘ = I2nenn‘
= I2 / ü = 0,5 A P1 =
P1k
= 2 W findet
man: die Kurzschluss-Scheinleistung
S1k = Uk
× I1
= 9,5 VA, den
Kurzschluss-Leistungsfaktor cos jk = P1k / S1k
= 0,2105, den
ohmschen Spannungsabfall UR = Uk
× cos jk =
4 V, den induktiven
Spannungsabfall UX = Uk
× sin jk
= 18,6 V, die Wicklungswiderstände R = UR
/ I1
= 8 W
, R1 = R2’
= R / 2 = 4 W
, die
Streureaktanzen Xs = UX / I1
= 37,2 W, Xs1 = Xs2’ = Xs / 2 = 18,6 W
, die
Streuinduktivitäten Ls = Xs / w
= 0,118 H, Ls1 = Ls2‘ = Ls / 2
= 0,059 H . Die
Spannungen Uk = UR + UX
im Zeigerdiagramm der elektrischen Größen bilden das "Kappsche" Dreieck. |
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Vollständiges Zeigerbild
Die Darstellung erfolgt für einen beliebigen
Belastungsfall auf der Grundlage des
vollständigen Ersatzschaltbildes unter Einbeziehung der Ergebnisse aus
den Messungen im
Leerlauf- und im Kurzschlussversuch. Der
Beginn dieser Darstellung hängt davon ab,
welche den Belastungsfall kennzeichnenden
Messwerte vorliegen: U1, I1, P1 der Primärseite
oder/und U2, I2,
P2 der Sekundärseite.
Die Konstruktion des Zeigerbildes erfolgt
anhand des bereits für die Messungen im Leerlauf
und im Kurzschluss benutzten Beispiels, für das die Messwerte
der Belastung U2 = 51 V,
I2 = 0,5 A und cos j2 = 0,9 (Þ U2’ = U2 ×
ü = 51 V, I2’ = I2 / ü = 0,5 A, j2 = 25,8°) vorliegen.

1. Zeigerbild der Belastungsgrößen
2. Ergänzung der Spannungsabfälle der
Sekundärwicklung:
UR2’ = R2’ ×I2’
UR2’= 2 V
UX2’ = jXs2’ ×I2’ UX2’=
9,3 V

3. Bestimmung der Spannung des Quer-
4. Ergänzung der Ströme des
zweiges Uq (kann nur dem maßstäblichen
Querzweiges:
Zeigerbild entnommen
werden, ist nicht
Ife = Uq / Rfe
Ife = 0,0319 A
messbar):
Uq = 57,3 V
Iµ = Uq / jXh
Iµ = 0,0747 A
I0 =
I0= 0,0812 A

5. Bestimmung des Primärstromes
I1
6. Ergänzung der Spannungsabfälle der
aus dem maßstäblichen Zeigerbild:
Primärwicklung:
I1 = 0,569 A UR1
= R1 ×I1
UR1 = 2,3 V
UX1 = jXs1×I1
UX1 = 10,6 V
7. Bestimmung der Primärspannung U1
und des primären Phasenwinkels j1 bzw.
Leistungsfaktors
cos j1:
U1 = 66 V
j1 = 43,9°
cos j1
= 0,72 |
Anmerkungen:
· Dem
dargestellten Zeigerbild liegt das
Ersatzschaltbild mit dem Verbraucher-
Zählpfeilsystem auf der Primär- und auf der
Sekundärseite zugrunde. Wird auf
der
Sekundärseite das Erzeuger-Zählpfeilsystem
benutzt (in der Literatur nicht selten anzutreffen),
sind (abgesehen von dort auch abweichenden
Bezeichnungen) die Wirkungsrichtungen der
Zeiger I2’, UR2’
und UX2’ umzukehren und in den
Gleichungen (1) bis (4) und (6)
bis (15) -i2, -I2
bzw. -I2’ einzusetzen.
· Bei
Betrieb eines Transformators im Bereich der
Bemessungsspannung und des Bemessungsstromes
kann zur Darstellung eines vereinfachten Zeigerdiagramms
das vereinfachte Ersatzschaltbild
des Kurzschluss-
Versuchs benutzt werden:
- die Schritte 3., 4. und 5. entfallen, d.h. der
Querzweig bleibt unberücksichtigt
und I1 = -I2’,
- die Schritte 2. und 6. werden
zusammengefasst.
Der durch diese Vereinfachung verursachte Fehler
ist um so geringer, je kleiner
I0 gegenüber I1nenn ist.
· Bei
Vorliegen der Belastungs-Messwerte der
Primärseite erfolgt die Erarbeitung des
Zeigerbildes beginnend mit der Darstellung von
U1, I1,
j1.
· Die
Darstellungen gehen davon aus, dass nur
lineare passive Zweipole wirksam sind. |
Auf rechnerischem Wege findet man
aus (18) nach Umstellung nach I1:
I1 = (U2’
- (R2’ + jXs2‘) I2’ - I2’
/ Yh) Yh
I1 = (51 V - (4 W + j18,6 W + 705,8 W ej66,9°) 0,5 A ej154,2°)
1,417 10-3 S e-j66,9°
I1 = 0,569 A e-j30,36°
und damit aus (17):
U1 = (R1
+ jXs1) I1
+ (I1 + I2’) / Yh
U1 = (4 W + j18,6 W) 0,569 A e-j30,36° + (0,569 A
e-j30,36° + 0,5 A ej154,2°) / 1,417 10-3
S e-j66,9°
U1 = 66,01 V ej13,57°
j1
= ju1 - ji1 = 13,57° - (-30,36°) = 43,93°
Ein gleiches rechnerisches Ergebnis erhält
man mit den Verfahren der Netzwerkanalyse.
So lautet z.B. das Gleichungssystem des Maschenstromverfahrens:
(19)
Lastverhalten am "starren" Netz
Ein Netztransformator zur Energieversorgung
wird im Allgemeinen an der Spannung U1 = konst.
betrieben, die weitgehend lastunabhängig
ist. Außerdem kann angenommen werden, daß der
Querzweig des Ersatzschaltbildes wegen seiner Hochohmigkeit
vernachlässigbar ist: I0 << I1 ,
und damit I1 = - I2’
.
Führt man diese Überlegungen in die Gleichungen
(17) und (18) ein und fasst beide mit R1+R2’=R
und Xs1+X
s2‘=Xs zusammen, erhält man
U2’ = U1 - (R + jXs ) I1 : |
(20) |
U2’ (und damit
U2) ist abhängig vom komplexen Strom I1
= - I2’ = Ia’, also von
dessen Betrag
und Phasenlage. Das Zeigerbild ("Kappsches"
Diagramm) veranschaulicht dies mit einer
ohmschen (j2o = 0), einer induktiven (j2i
= - 45°) und einer kapazitiven (j2k = 45°) Last bei
Bemessungsstrom |I1nenn|.
Gegenüber dem Leerlauf ändert sich die
Spannung U2’ um
DU = U20’ - U2’
= U1 - U2’
= UR
cos j2
+ UX sin j2 + j (UX cos j2 - UR sin j2)
= D Uj ‘ + j D Uj ‘’ |
(21) |
mit dem Betrag |
D U = U1
- U2’ = D
Uj ‘ + 0,5
D Uj ‘’2 / U1 |
und der Näherungslösung |
D U »D Uj ‘ . |
(22) |
Als relative Spannungsänderung wird uj
= (D Uj ‘ + j D Uj
‘’) / U1nenn»D
Uj ‘ / U1nenn
benutzt.
Aus dem maßstäblichen Zeigerbild bzw.
rechnerisch findet man für das bereits mehrfach benutzte
Beispiel für die drei Belastungsfälle:
U2ohm‘ = 53
V , |
j1o =
18,1° , |
DUohm
= (4 + j 18,6) V »
4 V, |
U2ind‘ = 43,1
V , |
j1i =
54,9° , |
DUind
= (16 + j 10,3) V »
16 V, |
U2kap‘ = 68,2
V , |
j1k =
-29,5° , |
DUkap
= (-10,3 + j 16) V »
-10,3 V. |
Die Sekundärspannung eines Transformators
kann im Fall kapazitiver Belastung größer als die
Primärspannung sein!
(Quelle:
HTW Dresden)
Bearbeitung: JOT
05.02.01
Broschüre:
Bedarfsgerechte
Auswahl von Kleintransformatoren
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